Инвариантность формы первого дифференциала

При замене независимых переменных $x_k$ на функции, зависящие от каких-либо других переменных, форма первого дифференциала не меняется. Для дифференциалов старших порядков это не так.

Пусть $g(\mathbf{t}) = g(t_1, \dots, t_s) = f(x_1(\mathbf{t}), \dots, x_m(\mathbf{t}))$. По определению дифференциала: $$dg = \sum\limits_{k=1}^s g'_{t_k} dt_k$$ Из теоремы о дифференцируемости сложной функции: $$dg = \sum\limits_{k=1}^m f'_{x_k} \sum\limits_{j=1}^s \dfrac{\partial x_k}{\partial t_j} dt_j$$ Но если учесть, что $dx_k = \sum\limits_{j=1}^s \dfrac{\partial x_k}{\partial t_j} dt_j$, то $$dg = \sum\limits_{k=1}^m f'_{x_k} dx_k$$ Таким образом, форма первого дифференциала инвариантна. Рассмотрим второй дифференциал. Если $x_k$ являются функциями других переменных, то $d^2 x_k$ не обязательно равны нулю. $$d^2 f = d \left( \sum\limits_{k=1}^m f'_{x_k} dx_k \right) = \sum\limits_{k=1}^m d(f'_{x_k} dx_k) =$$ $$= \sum\limits_{k=1}^m (d(f'_{x_k}) dx_k + f'_{x_k} d(dx_k)) = \sum\limits_{k=1}^m (d(f'_{x_k}) dx_k + f'_{x_k} d^2 x_k) =$$ Так как $f'_{x_k}$ является функцией от $x_1, \dots, x_m$, то $d(f'_{x_k}) = \sum\limits_{j=1}^m f''_{x_k x_j} dx_j$. Подставляя это, получаем: $$= \sum\limits_{k=1}^m \left( \left(\sum\limits_{j=1}^m f''_{x_k x_j} dx_j\right) dx_k + f'_{x_k} d^2 x_k \right) =$$ $$= \sum\limits_{k=1}^m \sum\limits_{j=1}^m f''_{x_k x_j} dx_j dx_k + \sum\limits_{k=1}^m f'_{x_k} d^2 x_k$$ Если $x_k$ являются независимыми переменными, то $d^2 x_k = 0$, и второй член суммы отсутствует. Однако, если $x_k$ являются функциями других переменных, то $d^2 x_k \neq 0$, и дополнительный член появляется, что меняет форму второго дифференциала. $\square$